Puissances de matrices carrées : application au calcul de la matrice inverse si elle existe

 Définition

Soit  $A$ une matrice carrée de taille  $n$ et  $k$ un entier naturel non nul.

La puissance  $\mathit{k}$ -ième de $A$ , notée $A^k$ , est la matrice $A^k=A\times A\times ...\times A$  ( $A$ étant multipliée  $k-1$ fois par elle-même dans le membre de droite).

Par convention, $A^0=I_n$
On peut ainsi définir des polynômes de matrices.

Propriété

Toute matrice carrée  $A$ de taille  $n$ possède un (donc plusieurs !) polynôme annulateur (nous ne démontrerons pas cette propriété ici).

Il existe un nombre entier naturel  $p$ et des réels  ${\lambda }_k$ avec  $0\le k\le p$ tels que  ${\displaystyle \sum _{k=0}^p{\lambda }_k{A}^k=0}$ .
Si  ${\lambda }_0\ne 0$ , on a donc  ${\displaystyle \sum _{k=1}^p{\lambda }_k{A}^k=-{\lambda }_0{A}^0}$ .

Donc  ${\displaystyle \sum _{k=1}^p{\lambda }_k{A}^k=-{\lambda }_0{I}_n}$ .

En factorisant par  $A$ dans le premier membre et en multipliant par le réel $-\frac{1}{{\lambda }_0}$
${\displaystyle A\times -\frac{1}{{\lambda }_0}\left(\sum _{k=1}^p{\lambda }_k{A}^{k-1}\right)=I_n}$
Il reste à faire un changement d’indice dans le signe somme 
${\displaystyle A\times -\frac{1}{{\lambda }_0}\left(\sum _{k=0}^{p-1}{\lambda }_{k+1}{A}^k\right)=I_n}$
Et on peut en déduire que la matrice  $A$ est inversible et que son inverse est :
${\displaystyle A^{-1}=\sum _{k=0}^{p-1}-\frac{{\lambda }_{k+1}}{{\lambda }_0}{A}^k}$

Remarque

La condition  ${\lambda }_0\ne 0$ revient en fait à $det(A)\ne 0$ .