Puissances de matrices carrées : application au calcul de la matrice inverse si elle existe

 Définition

Soit  \(A\) une matrice carrée de taille  \(n\) et  \(k\) un entier naturel non nul.

La puissance  \(\boldsymbol{k}\) -ième de \(A\) , notée \(A^k\) , est la matrice \(A^k=A \times A\times ... \times A\)  ( \(A\) étant multipliée  \(k-1\) fois par elle-même dans le membre de droite).

Par convention, \(A^0=I_n\)
On peut ainsi définir des polynômes de matrices.

Propriété

Toute matrice carrée  \(A\) de taille  \(n\) possède un (donc plusieurs !) polynôme annulateur (nous ne démontrerons pas cette propriété ici).

Il existe un nombre entier naturel  \(p\) et des réels  \(\lambda_k\) avec  \(0\leq k\leq p\) tels que  \(\displaystyle \sum^p_{k=0}\lambda_kA^k=0\) .
Si  \(\lambda_0\ne0\) , on a donc  \(\displaystyle \sum^p_{k=1}\lambda_kA^k=-\lambda_0A^0\) .

Donc  \(\displaystyle\sum^p_ {k=1}\lambda_kA^k=-\lambda_0I_n\) .

En factorisant par  \(A\) dans le premier membre et en multipliant par le réel \(-\frac{1}{\lambda_0}\)
\(\displaystyle A\times-\frac{1}{\lambda_0}\left(\sum^{p}_ {k=1}\lambda_{k}A^{k-1}\right)=I_n\)
Il reste à faire un changement d’indice dans le signe somme 
\(\displaystyle A\times-\frac{1}{\lambda_0}\left(\sum^{p-1}_ {k=0}\lambda_{k+1}A^k\right)=I_n\)
Et on peut en déduire que la matrice  \(A\) est inversible et que son inverse est :
\(\displaystyle A^{-1}=\sum^{p-1}_ {k=0}-\frac{\lambda_{k+1}}{\lambda_0}A^k\)

Remarque

La condition  \(\lambda_0\ne0\) revient en fait à \(\det(A)\ne0\) .